Tomas Guardia's Aplicaciones de la Geometria PDF

By Tomas Guardia

ISBN-10: 9801116080

ISBN-13: 9789801116080

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Decimos que el grupo G act´ ua sobre R2 si existe una acci´on de G 2 sobre R Para simplificar la notaci´on se representar´a g·x por gx. An´alogamente se define una acci´on de G sobre R3 . 2. 1. (Acci´on del grupo de traslaciones). Los elementos de T (2) act´ uan 2 2 sobre R de manera can´onica, en efecto si v1 , v2 ∈ R son vectores fijos del plano entonces Tv2 (Tv1 )(x) = Tv2 (x + v1 ) = (x + v1 ) + v2 = x + (v1 + v2 ) = Tv1 +v2 (x). T0 (x) = (x + 0) = x. 2. (Acci´on de grupo de rotaciones) Las rotaciones del grupo ortog- Invariantes 51 onal O(2) act´ uan en R2 de forma usual ya que ( )( )( ) cos φ − sin φ cos θ − sin θ x Rφ (Rθ (x))) = ( sin φ cos φ ) ( sin θ cos θ ) y cos φ − sin φ x cos θ − y sin θ = sin φ cos φ x sin θ + y cos θ ( ) cos φ(x cos θ − y sin θ) − sin φ(x sin θ + y cos θ) = ( sin φ(x cos θ − y sin θ) cos φ(x sin θ + y cos θ) ) x cos φ cos θ − y cos φ sin θ − x sin φ sin θ − y sin φ cos θ = (x sin φ cos θ − y sin φ sin θ + x cos φ sin θ + y cos φ cos θ) x(cos φ cos θ − sin φ sin θ) − y(sin φ cos θ + cos φ sin θ) = (x(sin φ cos θ + cos φ sin θ) +)y(cos φ cos θ − sin φ sin θ) x cos(φ + θ) − y sin(φ + θ) = (x sin(φ + θ) + y cos(φ + θ) )( ) cos(φ + θ) − sin(φ + θ) x = sin(φ + θ) cos(φ + θ) y = Rφ+θ (x) Por otra parte ( cos 0 − sin 0 R0 (x) = )0 ( sin 0) (cos x 1 0 = y (0 ) 1 x = y =x )( ) x y En general la acci´on de un grupo es, el efecto que resulta de la operaci´ on o aplicaci´on de cada uno de los elementos del grupo sobre un conjunto.

O se puede contraer una elipse y convertirla en una circunferencia. Por lo tanto la circunferencia y la elipse son afinmente equivalente. Dicho de otra manera, bajo el efecto del grupo af´ın las circunferencias y las elipses son elementos invariantes de este grupo. De esto nos ocuparemos al detalle en el siguiente cap´ıtulo. 1 ¿Qu´ e es un Invariante? A lo largo del curso hemos utilizado el calificativo de invariante. Un invariante es una propiedad geom´etrica que se preserva o mantiene bajo la acci´on de un grupo.

Como a es la distancia desde A′ hasta σ(D) , b es la distancia desde B ′ hasta σ(D) y c es la distancia desde C ′ hasta σ(D). Sean C1 la circunferencia de centro A′ y radio a, C2 la circunferencia de centro B ′ y radio b y C2 la circunferencia de centro C ′ y radio c. 2 la intersecci´on de estas tres circunferencias es σ(D). Pero tambi´en a es la distancia desde A′ hasta τ (D), b es la distancia desde B ′ hasta τ (D) y c es la distancia desde C ′ hasta τ (D). Por lo tanto, la intersecci´on de C1 , C2 y C3 es τ (D) entonces σ(D) = τ (D) y como el punto D es arbitrario, concluimos que σ = τ .

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Aplicaciones de la Geometria by Tomas Guardia


by Joseph
4.3

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