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By Dr. B. L. van der Waerden (auth.), Dr. B. L. van der Waerden (eds.)

ISBN-10: 3662015137

ISBN-13: 9783662015131

ISBN-10: 3662015145

ISBN-13: 9783662015148

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1. Man suche zu den Untergruppen der @53 die rechts- und linksseitigen Nebenklassen. Welche von diesen Untergruppen sind Normalteiler ? 2. Man zeige, daß bei einer beliebigen Untergruppe die Inversen der Elemente einer linksseitigen Nebenklasse eine rechtsseitige Nebenklasse bilden. Daraus ist weiter zu erschließen, daß der Index auch als Anzahl der rechtsseitigen Nebenklassen bestimmt werden kann. 3. Man zeige, daß jede Untergruppe vom Index 2 Normalteiler ist. Beispiel: die alternierende Gruppe in der symmetrischen von n Ziffern.

Entsprechend der früheren Formel (1) definieren wir nun Summe und Produkt der neuen Symbole alb durch: (2) a+c_ad+bc b a:-~-' a c ac b ·a:=bd· Die Definitionen sind zulässig; denn erstens ist b d =l= 0, wenn b =l= 0 und d =l= 0, also sind ad b~ bc und :~ erlaubte Symbole; zweitens sind die rechten Seiten unabhängig von der Wahl der Repräsentanten (a, b) und (e, d) der Klassen alb und eid. Ersetzt man nämlich in (2) a und b durch a' und b', wo ab' = ba', so folgt adb' = a' db, a d b' + beb' = a' d b + b' e b, (a d + b e) b' d = ta' d + b' e) b d, also ad Ebenso: + bc + a' d b' c b'd bd ab' = a e b' d = ac Ta ba', a' e b d, a' c = b'd· Entsprechendes gilt bei Ersetzung von (e, d) durch (e', d'), wo cd' = de' ist.

Wir werden später noch Größen von ganz anderer Art: hyperkomplexe Zahlen, Restklassen u. , kennenlernen, mit denen man ganz oder fast ganz wie mit Zahlen rechnen kann. Es ist daher wünschenswert, alle diese Größenbereiche unter einen gemeinsamen Begriff zu bringen und die Rechengesetze in diesen Bereichen allgemein zu untersuchen. Unter einem System mit doppelter Komposition versteht man eine Menge von Elementen a, b, ... , in der zu je zwei Elementen a, b eindeutig eine Summe a + b und ein Produkt a .

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by Donald
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